Question

已知c＞0，设P：函数y=c^x在R上单调递减，Q：不等式x+|x-2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．

Answer 1

分析：函数y=c^x在R上单调递减，推出c的范围，不等式x+|x-2c|＞1的解集为R，推出x+|x-2c|的最小值大于1，P和Q有且仅有一个正确，然后求出c的取值范围．

解答：解：函数y=c^x在R上单调递减?0＜c＜1．
不等式x+|x-2c|＞1的解集为R?函数y=x+|x-2c|在R上恒大于1．
∵x+|x-2c|=

2x-2c     x≥2c 2c            x＜2c

∴函数y=x+|x-2c|在R上的最小值为2c．
∴不等式x+|x-2c|＞1的解集为R?2c＞1?c＞

1

2

．
如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤

1

2

．
如果P不正确，且Q正确，则c≥1．
∴c的取值范围为（0，

1

2

]∪[1，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，指数函数单调性的应用，是中档题．