Question

如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，， 为中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）由题设，连结，

为等腰直角三角形，

所以，且，又为等腰三角形，

故，且，从而OA²+SO²=SA²．

∴．

又．所以平面．

   （Ⅱ）解法一：  

取中点，连结，

由（Ⅰ）知，得．

为二面角的平面角．

由得平面．                                    

所以，又，

故．

所以二面角的余弦值为．

解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，

建立如图的空间直角坐标系．设，则．

  的中点，

．

．

故等于二面角的平面角．

，

所以二面角的余弦值为．