Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n=

an-1

1+an-1

（n∈N^*，n≥2）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=

1

an

且c_n=lgb_n，判断数列{c_n}是否为等比数列？并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a_n=

an-1

1+an-1

中n=2求出a₂，令n=3求出a₃，令n=4求出a₄．
（Ⅱ）利用定义考察出c₁c₃≠c₃²，证出{c_n}不是等比数列．

解答：解：解：（Ⅰ）∵a₁=

1

2

，∴a2=

a1

1+a1

=

1

3

，同理得出a3=

1

3

，a4=

1

4

，育网  
猜想an=

1

n+1

…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），b_n=n+1，c_n=lg（n+1），{c_n}不是等比数列．
方法一：由于c_nc_n+2=lg（n+1）lg（n+3）＜[

lg(n+1)+lg(n+3)

2

]2=[

lg(n+1)(n+3)

2

]2＜[

lg(n+2)2

2

]2=c _n+1 ²，故{c_n}不是等比数列．

方法二：由c_n=lg（n+1），c₁=lg2，c₂=lg3，c₃=lg4，
∵c₁c₃=lg2•lg4＜(

lg2+lg4

2

)2=＜(

lg8

2

)2＜(

lg9

2

)2=（lg3）²=c₃²，
c₁c₃≠c₃²，∴{c_n}不是等比数列．

点评：本题考查数列的递推公式，归纳猜想、推理论证能力．