题目内容
已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足:0＜a1＜1,an+1=f(an),n=1,2,3,….求证:(1)0＜an+1＜an＜1;
(2)an+1＜
.
证明：(1)先用数学归纳法证明0＜an＜1,n=1,2,3,….
①当n=1时,由已知知结论成立.
②假设当n=k时结论成立,即0＜ak＜1.
因为0＜x＜1时,f′(x)=1-cosx＞0,
所以f(x)在(0,1)上是增函数.
又f(x)在［0,1］上连续,从而f(0)＜f(ak)＜f(1),
即0＜ak+1＜1-sin1＜1.
故当n=k+1时,结论成立.
由①②可知,0＜an＜1对一切正整数都成立.
又因为0＜an＜1时,an+1-an=an-sinan-an=-sinan＜0,
所以an+1＜an.
综上所述0＜an+1＜an＜1.
(2)设函数g(x)=sinx-x+x3,0＜x＜1.
由(1)知,当0＜x＜1时,sinx＜x.
从而g′(x)=cosx-1+=-2sin2
+
＞-2(
)2+
=0.
所以g(x)在(0,1)上是增函数.
又g(x)在［0,1］上连续,且g(0)=0,
所以当0＜x＜1时,g(x)＞0成立.
于是g(an)＞0,即sinan-an+
an3＞0.
故an+1＜
an3.
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