Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，点（1，

3

2

）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF₂B的面积为

12 2

7

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程，并求出椭圆两个焦点的坐标，又点（1，

3

2

）在椭圆C上，利用椭圆定义可求出长轴长，从而求出椭圆C的方程；
（2）为避免讨论可设过F₁的直线l的方程为x=ty-1，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点纵坐标的和与积，△AF₂B的面积就是

1

2

|F1F2||y1-y2|=

12 2

7

，由此求出t的值，则直线l的方程可求．

解答：解：（1）由题意可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由|F₁F₂|=2得c=1，∴F₁（-1，0），F₂（1，0），
又点（1，

3

2

）在椭圆C上，∴2a=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=4，a=2．则b²=a²-c²=4-1=3．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）如图，
设直线l的方程为x=ty-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把x=ty-1代入

x2

4

+

y2

3

=1，得：（3t²+4）y²-6ty-9=0

∴ y1+y2= 6t 3t2+4 y1y2= -9 3t2+4

，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 6t 3t2+4 )2-4× -9 (3t2+4)

=

12 t2+1

3t2+4

，
∴S=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

12 t2+1

3t2+4

=

12 2

7

，
解得：t2=-

17

18

（舍）或t²=1，t=±1．
故所求直线方程为：x±y+1=0．

点评：本题考查了利用定义求椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，采用了设而不求的数学方法，该题把直线l的方程设为x=ty-1，避免了讨论直线斜率存在和不存在的情况，此题属中档题．