Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，设PD=4

3

，M、N分别是PB、AB的中点．
（I）求异面直线MN与PD所成角的大小；
（II）求二面角P-DN-M的大小．

Answer 1

分析：（I）以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出异面直线MN与PD的法向量，代入向量夹角公式，即可求出异面直线MN与PD所成角的大小；
（II）分别求出平面PDN的一个法向量和平面DMN的一个法向量，代入向量夹角公式，可以求出二面角P-DN-M的余弦值，进而得到二面角P-DN-M的大小．

解答：解：（I）∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，设PD=4

3

，M、N分别是PB、AB的中点．
以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则M（2，2，2

3

），N（4，2，0），P（0，0，4

3

），D（0，0，0）
则

MN

=（2，0，-2

3

），

PD

=（0，0，-4

3

），
设异面直线MN与PD所成角为θ
则cosθ=|

MN • PD

| MN |•| PD |

|=

3

2

∴θ=

π

6

（II）设

m

=（a，b，c）为平面PDN的一个法向量
则

m • PD =0 m • DN =0

，即

-4 3 c=0 4a+2b=0

令a=1，则

m

=（1，-2，0）平面PDN的一个法向量
设

n

=（x，y，z）为平面DMN的一个法向量
则

n • DM =0 n • DN =0

，即

2x-2 3 z=0 4x+2y=0

令z=1，则

n

=（

3

，-2

3

，1）为平面DMN的一个法向量
设二面角P-DN-M的平面角为α
则cosα=|

m • n

| m |•| n |

|=

15

4

∴二面角P-DN-M的大小为arccos

15

4

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，异面直线及其所成的角，解答此类问题的关键是，建立恰当的空间坐标系，求出对应直线的方向向量及平面的法向量，将空间异面直线的夹角问题及二面角问题转化为向量的夹角问题．