Question

已知函数f(x)=log2

x+3

x-3

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明：
（3）若f（m）=-3，求f（-m）．

Answer 1

分析：（1）令真数

x+3

x-3

＞0，解出定义域；
（2）由（1）知定义域关于原点对称，再证f（-x）=-f（x），由定义可判断出函数为奇函数；
（3）由（2）知函数为奇函数，可得f（-m）=-f（m）=3．

解答：解：（1）∵真数必须大于0，即

x+3

x-3

＞0
∴x＜-3或x＞3
∴函数f（x）的定义域为 （-∞，-3）∪（3，+∞）
（2）∵f（-x）=log₂

-x+3

-x-3

=log₂

x-3

x+3

=log₂(

x+3

x-3

)  -1=-f（x）
∴f（x）是奇函数；
（3）∵函数为奇函数
∴f（-x）=-f（x）
取x=m，得f（-m）=-f（m）=3

点评：本题考查对数函数的定义域，奇函数的证明，利用对数的单调性解不等式，求解本题关键是熟练掌握对数和运算法则及对数函数的单调性，本题考查运算能力，变形转化的能力．