Question

【题目】如图， 平面， ， ， ， 为的中点．

（Ⅰ）证明： 平面；

（Ⅱ）求多面体的体积；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】【试题分析】（Ⅰ）先运用线面垂直的性质定理证明，再运用等腰三角形的性质证明，进而运用线面垂直的判定定理证明平面；（Ⅱ）先求三棱锥的高和底面三角形面积，用三棱锥的体积公式求出体积；（Ⅲ）先运用二面角平面角的定义找出二面角的平面角，再构造直角三角形，运用相似三角形的性质求出，最后运用解直角三角形的正切函数的定义求出：

（Ⅰ）证明：∵平面，

∴平面

∴ ①

又∵，点为边中点

∴ ②

故由①②得平面

（Ⅱ）过点作交延长线于点

∵

∴平面

∴

，

∴

（Ⅲ）延长交延长线于，过点作于，连结

由（Ⅱ）可得： 为的平面角

∵

∴

∴

∵∽

∴

∴即

∴