Question

在（1）和（2）中可以任选一题作答
（1）在曲线C₁：（θ为参数）上求一点，使它到直线C₂：（t为参数）的距离最小，并求出该点的坐标和最小距离．
（2）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为：．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l相交于A，B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．

Answer 1

【答案】分析：（1）先将曲线C₁与直线C₂化为普通方程，所求问题转化为与直线C₂平行且且与圆C₁相切的切线问题，进而得到答案．
（2）（Ⅰ））由圆C的方程为：，得，进而可化为普通方程．
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为普通方程，再与圆C的方程联立，即可求得点A、B的坐标，使用两点间的距离公式即可得出答案．
解答：解：（1）将曲线C₁：（θ为参数）化为普通方程（x-1）²+y²=1．
将直线C₂：（t为参数）消去参数t化为普通方程x+y=．
设与直线C₂平行且与圆C₁相切的直线l的方程为x+y=t，如图所示：
联立消去y得到（x-1）²+（x-t）²=1，即2x²-2（1+t）x+t²=0，
∵△=0，∴4（t+1）²-8t²=0，解得，
当取t=时，切点M到直线C₂：x+y=的距离最小，此时，由方程解得，得y=，
∴切点M．
其最小距离为=1．

∴要求的点的坐标和最小距离分别是切点M，1．
（2）（Ⅰ）由圆C的方程为：，∴，∴，即．
（Ⅱ）将直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程x+y=3+．
联立解得或，不妨设A（1，），B（2，1），
∴|PA|+|PB|=+=．
点评：本题考查了把极坐标方程、参数方程化为普通方程，然后解决直线与圆的相切与相交问题，转化为一元二次方程的根的问题及较强的计算能力是解决问题的关键．