Question

8．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，g（x）=x+$\frac{1}{x}$，h（x）=[f（x）-a][g（x）+a]，给出下列四个命题：
①?x∈（0，+∞），f（x）＞g（x）恒成立；
②?x∈（-∞，0），使得f（x）＜g（x）成立；
③当-2＜a＜0或a=2时，h（x）有且只有一个零点；
④若h（x）有且只有三个零点，则a＜-2或a=e，
其中真命题为①③④．（填上所有真命题的序号）

Answer 1

分析 分别利用导数与函数的单调性、极值、最值的关系逐一判断四个命题的真假．

解答 解：①、设k（x）=f（x）-g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}-x-\frac{1}{x}$=$\frac{{e}^{x}-1}{x}-x$，x∈（0，+∞），
则k′（x）=$\frac{{xe}^{x}-（{e}^{x}-1）}{{x}^{2}}-1$=$\frac{{（x-1）（e}^{x}-x-1）}{{x}^{2}}$，
∵x＞0时，e^x-x-1＞0恒成立，
∴当x∈（0，1）时，k′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，k′（x）＞0，
则k（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）递增，
当x=1时，k（x）取到最小值是k（1）=e-2＞0，
∴?x∈（0，+∞），f（x）＞g（x）恒成立，①正确；
②、由①可得，k（x）在（-∞，0）递减，没有最小值，②不正确；
③、由h（x）=[f（x）-a][g（x）+a]=0得，f（x）-a=0或g（x）+a=0，
∵x＞0时，$x+\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$，当且仅当$x=\frac{1}{x}$时取等号，则函数g（x）的最小值是2，
∴当x＜0时，函数g（x）的最大值是-2，
∵$f′（x）=（\frac{{e}^{x}}{x}）′$=$\frac{{xe}^{x}-{e}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴当x∈（0，1）或（-∞，0）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
则f（x）在（0，1）、（-∞，0）上递减，在（1，+∞）递增，
当x=1时，f（x）取到极小值是f（1）=e，
∴当-2＜a＜0或a=2时，h（x）有且只有一个零点，③正确；
④、由③得，h（x）有且只有三个零点，则a＜-2或a=e，④正确
综上可得：真命题是①③④，
故答案为：①③④．

点评 本题考查命题的真假判断，导数与函数的单调性、极值、最值的关系，考查构造函数法，恒成立问题的转化，化简、计算能力，综合性强，属于中档题．