Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-n²+2kn（k∈N^*），且S_n的最大值为4．
（1）确定常数k的值，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=

5-an

3n

，数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与

3

2

的大小．

Answer 1

分析：（1）把给出的数列的和配方，利用二次函数的性质求出使最大值为4时的k值，然后分类求出首项和当n大雨等于2时的通项，验证首项后得结论；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=

5-an

3n

，整理后利用错位相减法求和，则T_n与

3

2

的大小得到比较．

解答：解：（1）∵S_n=-n²+2kn=-（n-k）²+k²（k∈N^*），
∴当n=k时，S_n取得最大值k²．
依题意得k²=4，又k∈N^*，∴k=2．从而Sn=-n2+4n．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(-n2+4n)-[-(n-1)2+4(n-1)]=5-2n．
又a₁=S₁=3也适合上式，所以a_n=5-2n；
（2）由（1）得a_n=5-2n，所以bn=

5-an

3n

=

2n

3n

．
所以Tn=

2

3

+

4

32

+

6

33

+…+

2n

3n

①，

1

3

Tn=

2

32

+

4

33

+

6

34

+…+

2n

3n+1

②．
由①-②得，

2

3

Tn=

2

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n

3n+1

，
所以Tn=1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

-

n

3n

=

1- 1 3n

1- 1 3

-

n

3n

=

3

2

-

2n+3

2•3n

．
∵Tn-

3

2

=-

2n+3

2•3n

，
∴Tn＜

3

2

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，训练了比较法比较两个数的大小，是中档题．