Question

如图，过原点的直线AB与函数y=log₄x的图象交于A、B两点，过A、B分别作x轴的垂线与函数y=log₂x的图象分别交于C、D两点，若线段BD平行于x轴，则四边形ABCD的面积为（　　）

• A．1
• B．

  5

  2

• C．2
• D．

  3

  2

Answer 1

分析：设出A、B的坐标，解出C、D的坐标，求出OC、OD的斜率相等利用三点共线得出A、B的坐标之间的关系．再根据BD平行x轴，B、D纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出A、B的坐标之间的关系即可求出A的坐标，最后利用梯形的面积公式求解即可．

解答：解：设点A、B的横坐标分别为x₁、x₂，
由题设知，x₁＞1，x₂＞1．
则点A、B纵坐标分别为log₄x₁、log₄x₂．
∵A、B在过点O的直线上，
∴

log4x1

x1

=

log4x2

x2

，
点D、C坐标分别为（x₁，log₂x₁），（x₂，log₂x₂）．
由于BD平行于x轴知log₂x₁=log₄x₂，
即得log₂x₁=

1

2

log₂x₂，
∴x₂=x₁²．
代入x₂log₄x₁=x₁log₄x₂得x₁²log₄x₁=2x₁log₄x₁．
由于x₁＞1知log₄x₁≠0，
∴x₁²=2x₁．
考虑x₁＞1解得x₁=2．
于是点A的坐标为（2，log₄2），即A（2，

1

2

），
∴B（4，1），C（4，2），D（2，1）．，
∴梯形ABCD的面积为S=

1

2

（AD+BC）×BD=

1

2

•（

1

2

+1）×2=

3

2

．
故选D．

点评：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力．