题目内容
已知函数f(x)=
sinx+
cosx．
（I）求函数f（x）的最小正周期和在区间[0，π]上的值域；
（II）记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(A)=
，且a=
b，求角C．
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（I）求函数f（x）的最小正周期和在区间[0，π]上的值域；
（II）记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(A)=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
分析：（I）利用辅助角公式化简，即可求函数f（x）的最小正周期和在区间[0，π]上的值域；
（II）先求A，再利用正弦定理求B，从而可求C．
（II）先求A，再利用正弦定理求B，从而可求C．
解答：解：（I）∵f(x)=
sinx+
cosx=sin(x+
)…（2分）
∴f（x）的最小正周期为2π． …（3分）
因为x∈[0，+∞]，所以x+
∈[
，
]，…（4分）
所以f（x）值域为[-
，1]． …（6分）
（II）由（I）可知，f(A)=sin(A+
)，∴sin(A+
)=
…（7分）
∵0＜A＜π，∴
＜A+
＜
…（8分）
∴A+
=
，得A=
． …（9分）
∵a=
b，且
=
，…（10分）
∴
=
，∴sinB=1，…（11分）
∵0＜B＜π，∴B=
…（12分）
∴C=π-A-B=
． …（13分）
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
∴f（x）的最小正周期为2π． …（3分）
因为x∈[0，+∞]，所以x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
所以f（x）值域为[-
| ||
| 2 |
（II）由（I）可知，f(A)=sin(A+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∵0＜A＜π，∴
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∴A+
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵a=
| ||
| 2 |
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
∴
| ||||
|
| b |
| sinB |
∵0＜B＜π，∴B=
| π |
| 2 |
∴C=π-A-B=
| π |
| 6 |
点评：本题考查三角函数的化简，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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