Question

已知函数f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2在区间[0，2]上有最小值3，求实数a的值．

Answer 1

分析：函数f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2在区间[0，2]上有最小值3，对函数进行配方，对对称轴是否在区间内进行讨论，从而可知函数在何处取得最小值，解出相应的a的值．

解答：解：函数f（x）的对称轴为x=

a

2

①当

a

2

≤0即a≤0时f_min（x）=f（0）=a²-2a+2=3解得a=1±

2

a≤0∴a=1-

2

②当0＜

a

2

＜2即0＜a＜4时fmin(x)=f(

a

2

)=-2a+2=3解得a=-

1

2

∵0＜a＜4故a=-

1

2

不合题意
③当

a

2

≥2即a≥4时f_min（x）=f（2）=a²-10a+18=3解得a=5±

10

∴a=5+

10

a≥4∴a=5+

10

综上：a=1-

2

或5+

10

点评：考查二次函数在闭区间上的最值问题中的动轴定区间上的最值问题，体现了分类讨论和运动变化的思想方法，属难题．