Question

 

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，并且经过点M（2，1），焦距为，平行于OM的直线交椭圆于A、B两点.  

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知，是否对任意的正实数，都有成立？请证明你的结论.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）设椭圆方程为  

    则,

    ∴椭圆方程_．  …………4分

   （2）若成立,则向量与轴垂直,  

    由菱形的几何性质知,的平分线应与轴垂直．为此只需考察直线MA,MB的倾斜角是否互补即可．

    由已知,设直线l的方程为：                            

    由             …………6分

  

    设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，

    只需证明k₁+k₂=0即可,

    设  

       可得,

       _,而

   

      

        ,                 …………10分

    ∴k₁+k₂=0,

    直线MA,MB的倾斜角互补．

    故对任意的正实数,都有成立．             …………12分