Question

已知点P是圆x²+y²=1上一动点，点P在y轴上的射影为Q，设满足条件（λ为非零常数）的点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若存在过点的直线l与曲线C相交于A、B两点，且•=0（O为坐标原点），求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设出点P的坐标，利用题中条件把点M的坐标用点P的坐标表示出来，最后利用点P在圆x²+y²=1上即可求曲线C的方程；
（2）先把直线方程与曲线方程联立求出A、B两点的坐标之间的关系，代入•=0的等价结论x₁x₂+y₁y₂=0即可求λ的取值范围．
解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y），点M的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（0，y）．
由，得x=λx，y=y⇒，y=y．（3分）
因为点P在圆x²+y²=1上，则x²+y²=1，所以．
故点M的轨迹C的方程为．（7分）
（2）因为直线l的斜率为0时，•=0，故可设直线l的方程为．
由得（*）（10分）
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则．
因为•=0，则x₁x₂+y₁y₂=0，又，

所以，（13分）
因为λ≠0，所以m²=，由≥0⇒-且λ≠0．，

此时（*）的判别式△＞0成立，故λ的取值范围是．（15分）
点评：本题主要考查轨迹方程的求法，直线的方程，向量共线以及向量垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．