Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-a_n，n=1，2，3，…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n=2-a_n，知S₁=2-a₁，a_n=S_n-S_n-1=（2-a_n）-（2-a_n-1），得，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n+1=b_n+a_n，且，知b_n-1-b_n=（）^n-1，由此利用叠加法能求出．
解答：解：（1）∵S_n=2-a_n，∴当n=1时，S₁=2-a₁，∴a₁=1，
当n≥2时，S_n-1=2-a_n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=（2-a_n）-（2-a_n-1），得，
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，为公比的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式是．
（2）由b_n+1=b_n+a_n，且，
∴b_n-1-b_n=（）^n-1，
则，，，…，b_n-b_n-1=（）^n-2，
以上n个等式叠加得：

=
=2[1-（）^n-1]
=2-，
∵b₁=1，∴．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法和叠加法的合理运用．