Question

如图，相距200海里的A、B两地分别有救援A船和B船．在接到求救信息后，A船能立即出发，B船因港口原因需2小时后才能出发，两船的航速都是30海里/小时．在同时收到求救信息后，A船早于B船到达的区域称为A区，否则称为B区．若在A地北偏东45°方向，距A地150

2

海里处的M点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移．A区与B区边界线（即A、B两船能同时到达的点的轨迹）方程；
问：
①应派哪艘船前往救援？
②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？（精确到0.1小时）

Answer 1

分析：①先根据A船能立即出发，B船因港口原因需2小时后才能出发，确定点P的轨迹是双曲线中的一支，求出其方程，再计算|MA|-|MB|，即可得出结论；
②设经t小时后，A救援船在点N处与遇险船相遇．在△AMN中，利用余弦定理建立方程，即可求出救援船的时间．

解答：解：设点P为边界线上的点，由题意知

PA

30

=

PB

30

+2，即PA-PB=60，
∴动点P到两定点A、B的距离之差为常数，
∴点P的轨迹是双曲线中的一支．                    …（3分）
由2c=200，2a=60得a=30，b²=100²-30²=9100
∴方程为

x2

900

-

y2

9100

=1（x＞0）…（6分）
①M点的坐标为M（50，150），A点的坐标为A（-100，0），B点的坐标为B（100，0），
∴|MA|=150

2

≈212.1，|MB|=

502+1502

≈158.1，
∴|MA|-|MB|≈212.1-158.1=54＜60，
∴点M在A区，又遇险船向正北方向漂移，即遇险船始终在A区内，
∴应派A船前往救援              …（8分）
②设经t小时后，A救援船在点N处与遇险船相遇．
在△AMN中，AM=150

2

，MN=10t，AN=30t，∠AMN=135°…（9分）
∴(30t)2=(10t)2+(150

2

)2-2•10t•150

2

cos135°
整理得4t²-15t-225=0，
解得t=

15+15 17

8

≈9.606或t=

15-15 17

8

（舍）       …（13分）
∴A救援船需9.6小时后才能与遇险船相遇．                …（14分）

点评：本题考查双曲线的运用，考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．