Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=，点F是PD的中点，点E在CD上移动．
（1）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面PAC的关系，并说明理由；
（2）求证：PE⊥AF．

Answer 1

（1）解：当点E为CD的中点时，EF∥平面PAC．
理由如下：
∵点E，F分别为CD，PD的中点，
∴EF∥PC．
∵PC平面PAC，EF平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴CD⊥PA．又ABCD是矩形，
∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．
∵AF平面PAD，
∴AF⊥CD．
∵PA=AD，点F是PD的中点，
∴AF⊥PD．又CD∩PD=D，
∴AF⊥平面PDC．
∵PE平面PDC，
∴PE⊥AF．