Question

过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点(AB不与对称轴垂直),AB的垂直平分线交对称轴于S,求证:|FS|=|AB|.

Answer 1

解:设抛物线方程为y²=2px(p＞0),AB的倾斜角为α(α≠),

则直线AB的参数方程是(t为参数).

代入抛物线方程:t²sin²α-2p(+tcosα)=0t²sin²α-2ptcosα-p²=0.

|AB|=|t₁-t₂|=.

又如图,|FP|=|t₁+t₂|=,

在Rt△PSF中,|FS|=,

∴|FS|=|AB|.