Question

如图，双曲线C₁：与椭圆C₂：（0＜b＜2）的左、右顶点分别为A₁、A₂第一象限内的点P在双曲线C₁上，线段OP与椭圆C₂交于点A，O为坐标原点．
（I）求证：为定值（其中表示直线AA₁的斜率，等意义类似）；
（II）证明：△OAA₂与△OA₂P不相似．
（III）设满足{（x，y）|，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|，x∈R，y∈R} 的正数m的最大值是b，求b的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出A₁A₂的坐标，再设出A、P的坐标，利用两点连线的斜率公式结合两圆锥曲线的方程，将进行化简，可证出为定值-1；
（II）设，可得P（x，y），A（tx，ty），将此坐标分别代入椭圆和双曲线方程，联解可将OA•OP-OA₂²这个式子化简为关于t的函数f（t），利用函数f（t）为单调减函数的性质，可证出故：△OAA₂与△OA₂P不相似．
（III）将双曲线方程与子集中的方程联解，化简得，因此对任意y不等于零，均有，故，可得m²≤3成立，因此因此b的值为．
解答：（I）解：由已知得A₁（-2，0），A₂（2，0）．
设A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由题意知A、P均在第一象限，
且满足，．
则=…（3分）
而Q、O、A、P在同一直线上，所以x₁y₂=x₂y₁
故…（4分）
（II）证明：设，P（x，y），则A（tx，ty）且，
解之得：，且…（6分）
OA•OP-OA₂²=tOP²-OA₂²=，其中0＜t＜1
所以f′（t）=恒成立，，函数f（t）在区间（0，1）上是减函数，
因此当0＜t＜1时，f（t）＞f（1）=，即
故：△OAA₂与△OA₂P不相似．…（9分）
（III）解：由得，由得．
∴{（x，y）|，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|，x∈R，y∈R}
因此?y≠0，??m²≤3所以b=
因此b的值为…（13分）
点评：本题考查了圆方程、直线方程、圆锥曲线的基本量和圆与圆锥曲线的关系等知识点，属于难题．解决本题一方面要求对圆方程、直线方程、圆锥曲线的方程有熟悉的理解，另一方面要求对含有字母的代数式化简、计算要精确到位，具有较强的综合性．