Question

【题目】如图，已知椭圆，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在轴下方），且线段AB的中点E在直线上.

（1）求直线AB的方程；

（2）若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线于点M、N，证明：OM·ON为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）两点确定一条直线，所以只需再确定A点坐标即可，这可利用A在椭圆上及AB中点在直线上联立方程组解得：A（，），从而根据两点式求出直线AB的方程为．

（2）本题涉及的条件为坐标，所以用分别表示M点、N点坐标就是解题方法：由A，P，M三点共线，又点M在直线y=x上，解得M点的横坐标，由B，P，N三点共线，点N在直线y=x上，，解得N点的横坐标．所以OM·ON==＝2

=，又，所以OM·ON====．

试题解析：解：（1）设点E（m，m），由B（0，－2）得A（2m，2m+2）．

代入椭圆方程得，即，

解得或（舍）． 3分

所以A（，），

故直线AB的方程为． 6分

（2）设，则，即．

设,由A，P，M三点共线，即，

∴，

又点M在直线y=x上，解得M点的横坐标， 9分

设，由B，P，N三点共线，即，

∴，

点N在直线y=x上，，解得N点的横坐标． 12分

所以OM·ON==＝2

====． 16分