Question

设数列{a_n}的前n项和S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*），其中m为常数且m≠-3，m≠0．
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）若数列{a_n}的公比满足q=f（m）且b₁=a₁，b_n=

3

2

f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求证{

1

bn

}为等差数列，并求b_n．

Answer 1

分析：（1）利用式子（3-m）S_n+2ma_n=m+3求出（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，相减得到

an+1

an

=

2m

3+m

为常数，即可得证．
（2）先求出b₁=1，再根据题意得到数列{b_n}的表达式，构造新的数列，求出新数列的表达式，进而求出数列{b_n}的表达式．

解答：（1）证明：∵（3-m）S_n+2ma_n=m+3，∴（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，
两式相减，得（3+m）a_n+1=2ma_n（m≠3）
∴

an+1

an

=

2m

3+m

为常数，
∴{a_n}是等比数列；
（2）解：由（3-m）a₁+2ma₁=m+3，得（m+3）a₁=m+3，
∵m≠-3，∴a₁=1，b₁=1，
数列{a_n}的公比满足q=f（m）=

2m

3+m

∵b_n=

3

2

f（b_n-1），
∴b_n=

3

2

•

2bn-1

3+bn-1

∴

1

bn

-

1

bn-1

=

1

3

∴{

1

bn

}为1为首项

1

3

为公差的等差数列，
∴

1

bn

=

n+2

3

∴b_n=

3

n+2

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．