Question

已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x-y+10=0上．（1）若动圆C过点（-5，0），求圆C的方程；（2）是否存在正实数r，使得动圆C中满足与圆O：x²+y²=r²相外切的圆有且只有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）依题意，可设动圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=25，其中圆心（a，b）满足a-b+10=0．
又∵动圆过点（-5，0），故（-5-a）²+（0-b）²=25．
解方程组

a-b+10=0 (-5-a)2+(0-b)2=25

可得

a=-10 b=0

或

a=-5 b=5

故所求的圆C方程为（x+10）²+y²=25或（x+5）²+（y-5）²=25．
（2）圆O的圆心（0，0）到直线l的距离d=

|10|

1+1

=5

2

．
当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x²+y²=r²相切的圆；
当r满足r+5=d，即r=5

2

-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x²+y²=r²相外切；
当r满足r+5＞d，与圆O：x²+y²=r²相外切的圆有两个．
综上：r=5

2

-5时，动圆C中满足与圆O：x²+y²=r²相外切的圆有一个．