Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，数列{b_n}满足b_n+2﹣2b_n+1+b_n=0（n∈N*），且b₃=11，前9项和为153．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=，数列{c_n}的前n项和为T_n，若对任意正整数n，
T_n∈[a，b]，求b﹣a的最小值．

Answer 1

解：（1）因为S_n=n²+n，
当n≥2时，a_n=Sn﹣S_n﹣1=n+5，
当n=1时a₁=S₁=6，满足上式，
所以a_n=n+5，
又因为b_n+2﹣2b_n+1+b_n=0，
所以数列{b_n}为等差数列，
由S₉==153，b₃=11，
故b₇=23，
所以公差d==3，
所以b_n=b₃+（n﹣3）d=3n+2，
（2）由（1）知
c_n===（），
所以T_n=c₁+c₂+…+c_n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=，又因为T_n+1﹣T_n=﹣=＞0，
所以{T_n}单调递增，
故（T_n）_min=T₁=，
而T_n=＜=，
故≤T_n＜，
所以对任意正整数n，T_n∈[a，b]时，a的最大值为，b的最小值为，
故（b﹣a）_min=﹣=．