题目内容

设α，β是一个三角形的两个锐角，且tanαtanβ＜1，则△ABC的形状是（　　）
分析：已知不等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式变形得到结果，即可做出判断．
解答：解：∵α，β是一个三角形的两个锐角，且tanαtanβ＜1，
∴
sinαsinβ
cosαcosβ
＜1，即sinαsinβ＜cosαcosβ，
∴cosαcosβ-sinαsinβ=cos（α+β）＞0，
∴α+β为锐角，
则三角形第三个角为钝角，即△ABC为钝角三角形．
故选C
点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．
练习册系列答案
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已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x），
（1）求f（x）的解析表达式；
（2）若α角是一个三角形的最小内角，试求函数f（x）的值域．
（2010•宿州三模）设不等式组
x-y+5≥0
x+y≥a
0≤x≤2
所表示的平面区域是一个三角形，则此平面区域面积的最大值
4
4
．
（2012•眉山一模）设函数f（x）对其定义域内的任意实数x1与x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，则称函数f（x）为上凸函数． 若函数f（x）为上凸函数，则对定义域内任意x1、x2、x3，…，xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
（当x1=x2=x3=…=xn时等号成立），称此不等式为琴生不等式，现有下列命题：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函数；
②二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函数的充要条件是a＞0；
③f（x）是上凸函数，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）图象上任意两点，点C在线段AB上，且
AC
=λ
CB
，则f(
x1+λx2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
；
④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2
．
其中，正确命题的序号是
①③④
①③④
（写出所有你认为正确命题的序号）．
（2012•泉州模拟）设不等式组
x-y+5≥0
y≥a
0≤x≤2
所表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（　　）

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