Question

（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝a－x－lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＝1时，证明：（x－1）（lnx－f（x））≥0．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数的定义域为，
令，
（1）当时，，此时，故在上为减函数；
（2）当时，方程有两根 且                                          
，此时当时，，当时
，故在为减函数，在为增函数；
所以当时，函数的递减区间为，当时，函数的递增区间为，递减区间为。┈┈┈┈┈6分
（Ⅱ）当时，，，
由（Ⅰ）知在为减函数，在为增函数，所以为的最小值，即，所以，故当时，，
∴，                                        
当时，，
令，则
，所以在为增函数，可得出，又因，∴，故当时，，
综上所述，当时，。┈┈┈┈┈12分

略