Question

则F（x）的最值是（ ）
A．最大值为3，最小值-1
B．最大值为，无最小值
C．最大值为3，无最小值
D．既无最大值为，也无最小值

Answer 1

【答案】分析：将函数f（x）化简，去掉绝对值后，分别解不等式f（x）≥g（x）和f（x）＜g（x），得到相应的x的取值范围．最后得到函数F（x）在三个不同区间内分段函数的表达式，然后分别在三个区间内根据单调性，求出相应式子的值域，最后得到函数F（x）在R上的值域，从而得到函数有最大值而无最小值．
解答：解：f（x）=3-2|x|=
①当x≥0时，解f（x）≥g（x），得3-2x≥x²-2x⇒0≤x≤；
解f（x）＜g（x），得3-2x＜x²-2x⇒x＞．
②当x＜0，解f（x）≥g（x），得3+2x≥x²-2x⇒2-≤x＜0；
解f（x）＜g（x），得3+2x＜x²-2x⇒x＜2-；
综上所述，得
分三种情况讨论：
①当x＜2-时，函数为y=3+2x，在区间（-∞，2-）是单调增函数，故F（x）＜F（2-）=7-2；
②当2-≤x≤时，函数为y=x²-2x，在（2-，1）是单调增函数，在（1，）是单调减函数，
故-1≤F（x）≤2-
③当x＞时，函数为y=3-2x，在区间（，+∞）是单调减函数，故F（x）＜F（）=3-2＜0；
∴函数F（x）的值域为（-∞，7-2]，可得函数F（x）最大值为F（2-）=7-2，没有最小值．
故选B
点评：本题以含有绝对值的函数和分段函数为载体，考查了函数的值域与最值的求法、基本初等函数的单调性和值域等知识点，属于中档题．