Question

设点A和B为抛物线y²=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

Answer 1

点M的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.

解析:

点A、B在抛物线y²=4px上，

设A(，y_a)，B（，y_b），OA、OB的斜率分别为k_OA、k_OB，

∴k_OA=，k_OB=．

由OA⊥OB，得k_OA·k_OB==-1.                                             ①

由点A在AB上，得直线AB的方程为

(y_a＋y_b)（y-y_a）=4p（x-）.                                             ②

由OM⊥AB，得直线OM方程为y=x.                                     ③

设点M(x,y)，则x、y满足②③两式，将②式两边同时乘以-，并利用③式

整理得

y_A²+yy_A-(x²＋y²)=0.                                                        ④

由③④两式得-+y_By_A-(x²＋y²)=0，

由①式知，y_Ay_B=-16p²，

∴x²＋y²-4px=0．

∵A、B是原点以外的两点，∴x≠0．

∴点M的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.