Question

（2008•武汉模拟）已知函数f(x)=

3

sinx+cos(x+θ)的定义域为R，最大值为1（其中θ为常数，且-

π

2

≤θ≤

π

2

）．
（1）求角θ的值；
（2）若f（x₀）=1，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：（1）先利用余弦的和角公式展开，然后利用辅助角公式可求得函数的最大值，建立关于sinθ和cosθ的方程，再根据同角三角函数关系，可求出角θ的值；
（2）由（1）可求出函数f（x）的解析式，然后根据f（x₀）=1建立等式关系，最后解三角方程求出x₀的值，代入cos2x₀求出其值即可．

解答：解：（1）由f(x)=

3

sinx+cos(x+θ)（θ为常数）
=

3

sinx+cosxcosθ-sinxsinθ
=(

3

-sinθ)sinx+cosθ•cosx≤

( 3 -sinθ)2+cos2θ

依题意知：(

3

-sinθ)2+cos2θ=1
化简为：sinθ=

3

2

又-

π

2

≤θ≤

π

2

，故θ=

π

3

•…（6分）
（2）由（1）可知f(x)=

3

2

sinx+

1

2

cosx=sin(x+

π

6

)
∴sin(x0+

π

6

)=1∴x0=2kπ+

π

3

(k∈z)．
∴2x0=4kπ+

2π

3

(k∈z)
∴cos2x0=-

1

2

．…（12分）

点评：本题主要考查了三角函数的最值，以及辅助角公式的应用和三角方程的求解，属于基础题．