Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点分别为F₁，F₂，若该椭圆上存在一点P使得∠F₁PF₂=60°，则椭圆离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F₁PF₂渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P₀处时，张角∠F₁PF₂达到最大值，由此可得结论．

解答：解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F₁PF₂渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P₀处时，张角∠F₁PF₂达到最大值．由此可得：
∵存在点P为椭圆上一点，使得∠F₁PF₂=60°，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂≥60°，
∴Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥30°，
所以P₀O≤

3

OF₂，即b≤

3

c，
∴a²-c²≤3c²，可得a²≤4c²，
∴

c

a

≥

1

2

，
∵0＜e＜1，
∴

1

2

≤e＜1．
故答案为：

1

2

≤e＜1．

点评：本题考查了直角三角形的三角函数和椭圆的简单几何性质等知识点，考查数形结合的数学思想，属于中档题．