Question

张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系x=2000

t

．若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s元（以下称s为赔付价格）．
（1）将工厂的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；
（2）若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y=0.002t²（元），在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s是多少？

Answer 1

分析：（1）由已知中赔付价格为s元/吨，所以工厂的实际年利润为w=2000

t

-st．我们利用配方法易求出工厂方取得最大年利润的年产量；
（2）由已知得，若农场净收入为v元，则v=st-0.002t²．再由x=2000

t

．我们可以得到农场净收入v与赔付价格s之间的函数关系式，利用导数法，我们易求出答案．

解答：解：（Ⅰ）工厂的实际年利润为：w=2000

t

-st（t≥0）．
w=2000

t

-st=-s(

t

-

1000

s

)2+

10002

s

，
当t=(

1000

s

)2时，w取得最大值．
所以工厂取得最大年利润的年产量t=(

1000

s

)2（吨）．
（Ⅱ）设农场净收入为v元，则v=st-0.002t²．
v′=-

10002

s2

+

8×10003

s5

=

10002(8000-s3)

s5

，
将t=(

1000

s

)2代入上式，
得：v=

10002

s

-

2×10003

s4

．
又令v'=0，得s=20． 当s＜20时，v'＞0；当s＞20时，v'＜0，
所以当s=20时，v取得最大值．
故在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s为20元．

点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．