Question

已知函数f(x)=

2-x-1(x≤0) f(x-1)(x＞0)

若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题知f（x）为分段函数，当x大于0时，由f（x）=f（x-1）可知当x大于1时，f（x）=0，小于1大于0时函数为减函数；当x小于等于0时函数为减函数，而方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根即f（x）与y=x+a由两个交点，在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=x+a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围．

解答：解：函数f（x）=f(x)=

2-x-1(x≤0) f(x-1)(x＞0)

的图象如图所示，
当a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，
即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根．
故答案为（-∞，1）

点评：考查学生综合运用函数和方程的能力，以及让学生掌握数形结合的数学思想．