Question

已知抛物线y²=4x的焦点F与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则此双曲线的离心率为（　　）

• A、

  3

  +

  2

• B、2
• C、

  2

  +1
• D、

  2

Answer 1

分析：根据抛物线的方程算出其焦点为F（1，0），得到|TF|=p=2．设双曲线的另一个焦点为F'，由双曲线的右焦点为F算出双曲线的焦距|FF'|=2，△TFF'中利用勾股定理算出|TF'|=2

2

，再由双曲线的定义算出a=

2

-1，利用双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．

解答：解：根据题意，可得
∵抛物线方程为y²=4x，得2p=4，可得p=2，
∴抛物线的焦点为F（1，0），
∵TF与x轴垂直，∴|TF|=p=2，
设双曲线的实半轴为a，半焦距c，另一个焦点为F'，
∵抛物线y²=4x的焦点F与双曲线的一个焦点重合，
∴c=

p

2

=1，可得双曲线的焦距|FF'|=2c=2，
∵△TFF'为直角三角形，∴|TF'|=

|FF‘ |2+|TF|2

=2

2

，
根据双曲线的定义，得2a=|TF'|-|TF|=2

2

-2，可得a=

2

-1
因此，该双曲线的离心率e=

c

a

=

1

2 -1

=

2

+1．
故选：C

点评：本题给出共焦点的双曲线与抛物线，在它们的交点在x轴上射影恰好为抛物线的焦点时，求双曲线的离心率．着重考查了抛物线和双曲线的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题．