Question

数列{a_n}的通项公式为a_n=3n+2，将数列{a_n}中的第2,4,8,…,2ⁿ项依次取出，按原来的顺序组成一个新数列{b_n}，记其前n项和为S_n,T_n=n(9+a_n)，当n≥4时，证明S_n＞T_n.

Answer 1

思路分析：要证S_n＞T_n，只需证3×2ⁿ⁺¹+2n-6＞3n²+11n，即证2ⁿ⁺¹＞n²+3n+2.这就证明了原不等式的等价不等式，从而将命题简化.

证明：∵a_n=3n+2，

∴=3×2ⁿ+2，

∴S_n=a₂+a₄+a₈+…+a=3(2+4+8+…+2ⁿ)+2n=3×2ⁿ⁺¹+2n-6.

而T_n=n(9+a_n)=3n²+11n.

要证S_n＞T_n，只需证3×2ⁿ⁺¹+2n-6＞3n²+11n，

即证2ⁿ⁺¹＞n²+3n+2.

用数学归纳法来证明：

(Ⅰ)当n=4时，S₄=98,T₄=92,S₄＞T₄成立.

(Ⅱ)假设当n=k(k≥4)时，结论成立，就是2^k+1＞k²+3k+2，那么

2^k+2-［(k+1)²+3(k+1)+2］＞2(k²+3k+2)-(k²+5k+6)

=k²+k-2=(k+2)(k-1).

∵k≥4,

∴(k+2)(k-1)＞0.

∴2^k+2＞(k+1)²+3(k+1)+2.

这就是说，当n=k+1时，S_n＞T_n也成立.

由(Ⅰ)(Ⅱ)知，对n≥4,S_n＞T_n都成立.

方法归纳

    本题用数学归纳法证明2ⁿ⁺¹＞n²+3n+2，第二步采用的是作差比较法：作差——利用归纳假设——变形（因式分解）——定号.这比通常的“作差——变形——定号”多了利用归纳假设这一步，这是因为归纳假设是用数学归纳法证明命题时所必需的.

巧解提示

    也可不用数学归纳法来证明2ⁿ⁺¹＞n²+3n+2(n≥4)，而是利用二项展开式和放缩法直接证得.

当n≥4时，

2ⁿ⁺¹=2·2ⁿ=2(1+1)ⁿ

=2()

≥2()

=n²+3n+4

＞n²+3n+2.