题目内容

用数学归纳法证明：

++…+＜（n∈N*）.

证明：（1）当n=1时，不等式显然成立.

（2）假设n=k时不等式成立，即

++…+＜.

当n=k+1时两边同加，得

++…+＜+.

只需证+ ＜即可.

由于－＞

＞

＞+

（－1）＞.

对n≥2成立，即n=k+1时，不等式成立.

由（1）（2）得不等式对n∈N*都成立.

点评：证明n=k+1时，目标必须清楚明确.证明方法既可以是分析法，也可以是综合法，证明不等式还可以使用放缩等证明不等式的常用方法.

练习册系列答案
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已知a＞0，b＞0，n＞1，n∈N*．用数学归纳法证明：
an+bn
2
≥(
a+b
2
)n．
已知m，n为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知(1-
1
n+3
)n＜
1
2
，求证(1-
m
n+3
)n＜(
1
2
)m，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3n+4n+5n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整数n．
用数学归纳法证明贝努利（Bernoulli）不等式：如果x是实数，且x＞-1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有（1+x）n＞1+nx．
已知：函数f(x)=-
1
6
x3+
1
2
x2+x，x∈R．
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4
3
)中心对称，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
（Ⅱ）设g（x）=f′（x），an+1=g（an），n∈N+，且1＜a1＜2，求证：
（ⅰ）请用数学归纳法证明：当n≥2时，1＜an＜
3
2
；
（ⅱ）|a1-
2
|+|a2-
2
|+…+|an-
2
|＜2．
用数学归纳法证明：（cosα+isinα）n=cosnα+isinnα，（其中i为虚数单位）

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