Question

已知函数f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最小值，并指出f（x）取得最小值时x的取值集合．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

），从而可求得函数f（x）的最小正周期；
（2）利用正弦函数的性质可求得函数f（x）的最小值，由2x+

π

6

=2kπ-

π

2

（k∈Z），可求得f（x）取得最小值时x的取值集合．

解答：解：（1）∵f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

6

），
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由（1）知，当2x+

π

6

=2kπ-

π

2

（k∈Z），
即x=kπ-

π

3

（k∈Z）时，f（x）取得最小值-2．
∴f（x）_min=-2，此时x的取值集合为{x|x=kπ-

π

3

，k∈Z}．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，着重考查正弦函数的周期性与最值，属于中档题．