Question

祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商在第一年初到大陆创办一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第七年开始，每年初M的价值为年初的75%．
（1）求第n年初M的价值a_n的表达式；
（2）设A_n=，若A_n大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：必须在第九年初对M更新．

Answer 1

解：（1）当n≤6时，数列{a_n}是首项为120，公差为﹣10的等差数列，
故a_n=120﹣10（n﹣1）=130﹣10n，
当n≥7时，数列{a_n}从a₆开始的项构成一个以a₆=130﹣60=70为首项，以为公比的等比数列，故，
∴第n年初M的价值a_n=．
（2）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，
由等差数列和等比数列的求和公式，得：
当1≤n≤6时，S_n=120n﹣5n（n﹣1），=120﹣5（n﹣1）=125﹣5n，
当n≥7时，由于S₆=570，
故S_n=570+（a₇+a₈+…+a_n）
=570+70×
=780﹣210×，=，
∵{a_n}是递减数列，∴{A_n}是递减数列，
∵≈82.734＞80，≈76.823＜80，
所以必须在第九年初对M更新．