Question

祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商在第一年初到大陆创办一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第七年开始，每年初M的价值为年初的75%．
（1）求第n年初M的价值a_n的表达式；
（2）设A_n=

a1+a2+…+an

n

，若A_n大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：必须在第九年初对M更新．

Answer 1

分析：（1）根据题意，当n≤6时，数列{a_n}是一个等差数列，当n≥7时，数列{a_n}中从a₆开始的项构成一个等比数列，分别确定它们的首项和公差，公差，写出通项公式，然后进行合并即可．
（2）先对n进行公类，表示出A_n，利用数列的单调性质确定其最佳项，并与80比较大小，确定n的值．

解答：解：（1）当n≤6时，数列{a_n}是首项为120，公差为-10的等差数列，
故a_n=120-10（n-1）=130-10n，
当n≥7时，数列{a_n}从a₆开始的项构成一个以a₆=130-60=70为首项，以

3

4

为公比的等比数列，
故an=70×(

3

4

)n-6，
∴第n年初M的价值a_n=

130-10n，n≤6 70×( 3 4 )n-6，n≥7

．
（2）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得：
当1≤n≤6时，S_n=120n-5n（n-1），
An=

Sn

n

=120-5（n-1）=125-5n，
当n≥7时，由于S₆=570，
故S_n=570+（a₇+a₈+…+a_n）
=570+70×

3

4

×4×[1-(

3

4

)n-6]
=780-210×(

3

4

)n-6，
An=

Sn

n

=

780-210×( 3 4 )n-6

n

，
∵{a_n}是递减数列，∴{A_n}是递减数列，
∵A8=

780-210×( 3 4 )2

8

≈82.734＞80，
A9=

780-210×( 3 4 )3

9

≈76.823＜80，
所以必须在第九年初对M更新．

点评：本题考查函数模型的建立问题，关键要理解题意，通过相应的数学知识建立数学模型，通过不等式工具、函数最值的思想和方法达到求解的目的．考查转化与化归的思想．