Question

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2C=-

3

4

．
（1）求sinC；
（2）当c=2a，且b=3

7

时，求a．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式cos2C=1-2sin²C求解即可，注意隐含条件sinC＞0；
（Ⅱ）利用（1）中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sinA，cosA，cosC的值，又由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC求出sinB的值，最后由正弦定理求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得1-2sin2C=-

3

4

．所以sin2C=

7

8

．
因为在△ABC中，sinC＞0，
所以sinC=

14

4

．（6分）
（Ⅱ）因为c=2a，所以sinA=

1

2

sinC=

14

8

．
因为△ABC是锐角三角形，所以cosC=

2

4

，cosA=

5 2

8

．
所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

14

8

×

2

4

+

5 2

8

×

14

4

=

3 7

8

．
由正弦定理可得：

3 7

sinB

=

a

sinA

，所以a=

14

．（13分）

点评：此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数及三角恒等变换等知识点，同时考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变形的技能．