Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，，其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）这种证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．
（2）用数列a_n构造一个新数列，我们写出新数列的第n+1项和第n项之间的关系，发现λ的取值影响数列的性质，所以要对λ进行讨论．
（3）根据前面的运算写出数列的前n项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意n的奇偶情况要分类讨论．
解答：解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{a_n}是等比数列，则有a²₂=a₁a₃，即，矛盾．
所以{a_n}不是等比数列．
（Ⅱ）解：因为b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（a_n-2n+14）
=（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-b_n
又b₁=-（λ+18），所以
当λ=-18，b_n=0（n∈N⁺），此时{b_n}不是等比数列：
当λ≠-18时，b₁=（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴（n∈N⁺）．
故当λ≠-18时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-为公比的等比数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=-18，b_n=0，S_n=0，不满足题目要求．
∴λ≠-18，故知b_n=-（λ+18）•（-）^n-1，于是可得
S_n=-，
要使a＜S_n＜b对任意正整数n成立，
即a＜-（λ+18）•[1-（-）ⁿ]＜b（n∈N⁺）
得
①
当n为正奇数时，1＜f（n）≤；当n为正偶数时，，
∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，．
于是，由①式得a＜-（λ+18）＜．
当a＜b≤3a时，由-b-18≥=-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b，且λ的取值范围是（-b-18，-3a-18）
点评：这道题目的难度要高于高考题的难度，若函数题是一套卷的压轴题，可以出到这个难度，否则本题偏难，本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力．