Question

设函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣6y﹣7=0垂直，导函数f'（x）的最小值为﹣12．

（Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的极值；两条直线垂直的判定．

专题：

综合题．

分析：

（Ⅰ）先根据奇函数求出c的值，再根据导函数f'（x）的最小值求出b的值，最后依据在x=1处的导数等于切线的斜率求出c的值即可；

（Ⅱ）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求得区间即为单调区间，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．

解答：

解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x）

即﹣ax³﹣bx+c=﹣ax³﹣bx﹣c

∴c=0

∵f'（x）=3ax²+b的最小值为﹣12

∴b=﹣12

又直线x﹣6y﹣7=0的斜率为

因此，f'（1）=3a+b=﹣6

∴a=2，b=﹣12，c=0．

（Ⅱ）f（x）=2x³﹣12x．，列表如下：

所以函数f（x）的单调增区间是和

∵f（﹣1）=10，，f（3）=18

∴f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是．

点评：

本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．