Question

【题目】已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆经过点.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设条件结合椭圆的定义与性质直接求出， 的值，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）先讨论直线斜率不存在的情况，求出点的坐标，再根据斜率存在设过点的直线的方程，设与椭圆交于两点的坐标，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，由于两曲线交于两点，故判断式大于0且可利用根与系数的关系建立两点的坐标与直线的斜率的等量关系，再设出点的坐标，用两点的坐标表示出，然后综合计算即可求得点的轨迹方程.

试题解析：（Ⅰ）∵ ，∴ ．

又由已知，所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）设点的坐标为.

（1）当直线与轴垂直时，直线与椭圆交于两点，此时点坐标为

（2）当直线与轴不垂直时，设直线的方程为.

∵在直线上，∴设点的坐标分别为，则

， .又.

由，得，

即 ①

将代入中，得 ②

由，得.

由②知， ， ，

代入①中并化简，得 ③

∵点在直线上，

∴，代入③中并化简，得.

由③及，可知，即.

又满足，故.

由题意， 在椭圆内部，所以，又由有

且，则.

所以点的轨迹方程是，其中， ，