Question

如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为3，底面边长A₁C₁=B₁C₁=1，且∠A₁C₁B₁=90°，D点在棱AA₁上且AD=2DA₁，P点在棱C₁C上，则

PD

•

PB1

的最小值为（　　）

• A．

  5

  2

• B．-

  1

  4

• C．

  1

  4

• D．-

  5

  2

Answer 1

分析：建立如图所示的直角坐标系，设P（0，0，z），求出

PD

和

PB1

的坐标，求出

PD

•

PB1

=(z-

5

2

)2+

1

4

，利用二次函数的性质求出它的最小值．

解答：解：建立如图所示的直角坐标系，则D（1，0，2），B₁（0，1，3），设P（0，0，z），
则

PD

=（1，0，2-z），

PB1

=（0，1，3-z），
∴

PD

•

PB1

=0+0+（2-z）（3-z）=(z-

5

2

)2+

1

4

，故当z=

5

2

时，

PD

•

PB1

取得最小值为-

1

4

，
故选B．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．