Question

下列命题中真命题的个数为（　　）
①若a＞b＞0，c＞d＞0，则

a d

＜

b c

②若a，b，m都是正数，并且a＜b，则

a+m

b+m

＞

a

b

③若a，b∈R，则a²+b²+5≥2（2a-b）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：对于①根据c＞d＞0，利用正分数里分子相同分母大的反而小这一性质变形，再利用不等式的性质即可．
对于②根据不等式的基本性质，比较大小的方法是做差，把要比较的式子作差得

b+m

a+m

-

a

b

=

b2+bm-a2-am

ab+bm

，根据条件a＞b＞0，m＞0，可得此差小于0，故

b+m

a+m

＜

a

b

．
对于③要证不等式成立，只需证：a²+b²-2（a+b-1）≥0成立，只需证：（a-1）²+（b-1）²≥0成立．

解答：证明：①∵c＞d＞0，
∴

1

d

＞

1

c

＞0，
又∵a＞b＞0，
∴

a

d

＞

b

c

＞0．∴

a d

＞

b c

，故错；
②∵0＜a＜b，m＞0，
∴b²-a²＜0，bm-am＜0，am+bm＞0，
∴

b+m

a+m

-

a

b

=

b2+bm-a2-am

ab+bm

＞0，
∴

b+m

a+m

＞

a

b

．故正确；
③：欲证：a²+b²+5≥2（2a-b）成立，只需证：a²+b²+5-2（2a-b）≥0成立，
只需证：（a-2）²+（b+1）²≥0成立，上式对a，b∈R显然成立，故原不等式a²+b²+5≥2（2a-b）成立．
故选C．

点评：本题考查不等关系的应用，以及不等式的性质，运用性质时不等号的方向是否改变是此类题的注意点，是基础题．此题只要知道不等式的基本性质，学生要用做差进行因式分解与0进行比较即可．