Question

（2013•广州三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，已知A=

π

4

，cosB=

4

5

．
（1）求cosC的值；
（2）若BC=10，D为AB的中点，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）由cosB及B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由A的度数，根据三角形得到内角和定理得到C=

3π

4

-B，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简cos（

3π

4

-B），将sinB和cosB的值代入求出cos（

3π

4

-B）的值，即为cosC的值；
（2）由第一问求出的cosC的值，及C为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，由BC，sinA和sinC的值，利用正弦定理求出AB的长，在三角形BCD中，由D为AB的中点，求出BD的长，再由BC的长，以及cosB的值，利用余弦定理即可求出CD的长．

解答：解：（1）∵cosB=

4

5

，且B∈（0，π），
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

，
∴cosC=cos(π-A-B)=cos(

3π

4

-B)
=cos

3π

4

cosB+sin

3π

4

sinB=-

2

2

×

4

5

+

2

2

×

3

5

=-

2

10

；

（2）由（1）可得sinC=

1-cos2C

=

1-(- 2 10 )2

=

7

10

2

，
由正弦定理得

BC

sinA

=

AB

sinC

，又BC=10，sinA=

2

2

，sinC=

7

10

2

，
∴

10

2 2

=

AB

7 10 2

，
解得：AB=14，
在△BCD中，BD=

1

2

AB=7，BC=10，cosB=

4

5

，
由余弦定理得：CD2=72+102-2×7×10×

4

5

=37，
∴CD=

37

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，诱导公式，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．