题目内容

已知M是△ABC内的一点，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为
1
2
，x，y，则
1
x
+
4
y
的最小值是（　　）
A、20B、18C、16D、9
分析：利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把
1
x
+
4
y
转化成2（
1
x
+
4
y
）×（x+y），利用基本不等式求得
1
x
+
4
y
的最小值．
解答：解：由已知得
AB
•
AC
=bccos∠BAC=2
3
?bc=4，
故S△ABC=x+y+
1
2
=
1
2
bcsinA=1?x+y=
1
2
，
而
1
x
+
4
y
=2（
1
x
+
4
y
）×（x+y）
=2（5+
y
x
+
4x
y
）≥2（5+2
y
x
×
4x
y
）=18，
故选B．
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+
b
x
的形式．
练习册系列答案
相关题目
已知M是△ABC内的一点（不含边界），且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z．
（1）x+y+z=
 
；
（2）定义f（x，y，z）=
1
x
+
4
y
+
9
z
，则f（x，y，z）的最小值是
 
．
已知M是△ABC内的一点，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为
1
2
，x，y，则
1
x
+
4
y
的最小值为
 
．
已知M是△ABC内的一点，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°．定义：f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别为△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（x，y，
1
2
），则
1
2x
+
2
y
的最小值为
9
9
，此时f（M）=（
(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
．
已知M是△ABC内的一点（不含边界），且
AB
.
AC
=2
3
∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z，则
1
x+y
+
4
z
的最小值是
9
9
．

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