Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，且对任意正整数m，n，a_n^m=a_mⁿ，求数列{

1

log2an•log2an+1

}的前2013项和为

2013

2014

．

Answer 1

分析：依题意，令n=1，m分别取2，3，4，…，n可求得a_n，从而可求数列{

1

log2an•log2an+1

}的前2013项和．

解答：解：∵数列{a_n}中，a₁=2，且对任意正整数m，n，a_n^m=a_mⁿ，
∴令n=1，m=2，得a₂=a12=2²，
同理，令n=1，m=3，得a₃=a13=2³，
令n=1，m=4，得a₄=2⁴，
…，
∴a_n=2ⁿ；
∴log₂a_n=n，log₂a_n+1=n+1，
∴

1

log2an•log2an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴设数列{

1

log2an•log2an+1

}的前2013项和为S₂₀₁₃，
则S₂₀₁₃=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2013

-

1

2014

）=1-

1

2014

=

2013

2014

．
故答案为：

2013

2014

．

点评：本题考查数列的求和，考查赋值法的应用，着重考查等比数列的通项公式与裂项法求和，属于中档题．