Question

已知函数f(x)=

cx-1

x+1

（c为常数）．
（1）若1为函数f（x）的零点，求c的值；
（2）在（1）的条件下且a+b=0，求f（4^a）+f（4^b）的值；
（3）若函数f（x）在[0，2]上的最大值为3，求c的值．

Answer 1

分析：（1）由零点定义得f（1）=0，解出即可；
（2）由（1）写出f（x）表达式，代入计算可得f（4^a）+f（4^b）的值；
（3）先利用函数单调性定义判断f（x）在[0，2]上的单调性，然后由单调性得到最大值，令其等于3，解出可得c值，注意单调性的判断要进行分类讨论；

解答：解：（1）∵1为f（x）的一个零点，
∴f（1）=0，解得c=1．
（2）由（1）知：f(x)=

x-1

x+1

，
所以f(4a)+f(4b)=

4a-1

4a+1

+

4b-1

4b+1

=

2•4a+b-2

(4a+1)•(4b+1)

=0．
（3）先证f（x）的单调性．
设0≤x₁＜x₂≤2，则f(x2)-f(x1)=

cx2-1

x2+1

-

cx1-1

x1+1

=

(x2-x1)•(c+1)

(x2+1)•(x1+1)

．
∵0≤x₁＜x₂≤2，∴当c＞-1时，f（x₂）＞f（x₁），即函数f（x）在[0，2]上单调递增，
所以f（x）_max=f（2）=3，即

2c-1

2+1

=3，解得c=5；
当c=-1时，f（x₁）=f（x₂），即f（x）在[0，2]上是常函数，
所以f（x）=-1，不合题意；
当c＜-1时，f（x₁）＜f（x₂），即函数f（x）在[0，2]上单调递减，
所以f（x）_max=f（0）=3，即-1=3，显然不成立，
综上所述，c=5．

点评：本题考查函数的零点、函数的单调性及闭区间上函数的最值，考查分类讨论思想，属中档题．