Question

已知函数f(x)=cosx+kcos(x-

π

3

)(k为常数)，将函数y=f（x）的图象向右平移

2π

3

个单位所得到的函数图象经过坐标原点O．
（1）求k的值；
（2）求y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用y=f(x)经过点(-

2π

3

，0)，求得方程，求出k的值．
（2）通过（1）化简化简的表达式，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间，求出函数的单调增区间．

解答：解：（1）依题意y=f(x)经过点(-

2π

3

，0)，则cos(-

2π

3

)+k•cos(-π)=0，
求得k=-

1

2

…（6分）
（2）f(x)=cosx-

1

2

cos(x-

π

3

)

=cosx- 1 2 (cosxcos π 3 +sinx•sin π 3 ) =- 3 2 (sinxcos π 3 -cosxsin π 3 ) =- 3 2 sin(x- π 3 ) 在2kπ+ π 2 ≤x- π 3 ≤2kπ+ 3π 2 时，y=f(x)递增.

即y=f（x）的单调递增区间为[2kπ+

5π

6

，2kπ+

11π

6

](k∈z)．…（12分）

点评：本题是基础题，考查点的坐标适合曲线方程，利用基本函数的单调性求出函数的单调性，考查计算能力，正确化简函数的表达式是解题的关键．